Pilnojo grafo, turinčio n viršūnių briaunoms e1,...,em priskiriame neneigiamus svorius X1 = X(e1), ..., Xm = X(em). Čia m = (n/2). Trajektorijos ei1,ei2,...,eik ilgiu vadiname šią trajektoriją sudarančių briaunų svorių sumą Xi1 + ··· + Xik. Trajektoriją, jungiančią viršūnes u ir v, vadiname trumpiausi keliu tarp u ir v, jei nėra kitos trajektorijos, kurios ilgis būtų mažesnis. Darbe tiriamas medis, sudarytas iš trumpiausių kelių, vedančių iš fiksuotos viršūnės u į visas kitas grafo viršūnes. Tokį medį gauname pritaikę, pvz., Dijkstros algoritmą. Darbe nagrinėjamos statistinės trumpiausių kelių medžio savybės, kai svoriai parenkami atsitiktinai ir nepriklausomai vienas nuo kito. Tiriame medžio struktūros priklausomybę nuo atsitiktinių svorių tikimybinio skirstinio parametrų.