Problemos
Problemos
Download

Problemos ISSN 1392-1126 eISSN 2424-6158

2019, vol. 95, pp. 42–54 DOI: https://doi.org/10.15388/Problemos.95.4

Atskyrimo (khōrismos) doktrinos kritika Aristotelio Metafizikoje

Virgilijus Petuška

Vilniaus universiteto Filosofijos instituto Filosofijos istorijos ir analitinės filosofijos katedra
E. paštas v.petuska@gmail.com

Santrauka. Straipsnyje nagrinėjama atskyrimo (khōrismos) sąvoka (tezė, kad eidai ir skaičiai egzistuoja atskirai (khōris) nuo jusliškai suvokiamų esybių) bei jos kritika Aristotelio Metafizikoje. Straipsnyje siekiama įrodyti, kad nors Aristotelis Metafizikoje eidų ir skaičių atskyrimo doktrinas kritikavo skyrium viena nuo kitos (kaip dvi Platono metafizinio mokymo dalis), vis dėlto jas laikė neatskiriamai susijusiomis – iš skaičių atskyrimo, pasak Aristotelio, kildintinas ir eidų atskyrimas jusliškai suvokiamų objektų atžvilgiu. Ši straipsnio pagrindinė tezė grindžiama bendra Metafizikos knygų M ir N problemine struktūra, Aristotelio pateikiamais liudijimais apie eidų teorijos atsiradimą bei šių liudijimų interpretacija remiantis senovės graikų mąstymui būdingu skaičiaus fenomeno suvokimu.

Pagrindiniai žodžiai: Aristotelis, Platonas, atskyrimas, skaičiai, eidai

The Doctrine of Separation (Khōrismos) and Its Critique in Aristotle’s Metaphysics

Abstract. The paper deals with the concept of separation (khōrismos) and its criticism in Aristotle’s Metaphysics. More specifically, the paper aims to show that in the Metaphysics, Aristotle criticized the separation of Forms and the separation of numbers as two inextricably linked (rather than two separate and utterly unrelated) philosophical doctrines related to two distinct yet inherently connected cases of the same theoretical problem. This thesis is supported by the general thematic structure of books M and N, Aristotle’s testimonies regarding the genesis of the theory of Forms, as well as an interpretation of the latter according to the phenomenon of number, as it was understood by the ancient Greeks.

Keywords: Aristotle, Plato, Forms, numbers, separation

Received: 08/07/2018. Accepted: 26/11/2019
Copyright © Virgilijus Petuška, 2019. Published by
Vilnius University Press.
This is an Open Access article distributed under the terms of the
Creative Commons Attribution Licence (CC BY), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited.

Platono kūryboje dažnai aptariamą atskyrimo (khōrismos) sąvoką galima laikyti viena kertinių šio filosofo metafizikoje1, kurios pagrindinė funkcija yra nusakyti asimetrišką santykį tarp jusliškai suvokiamų atskirybių ir jų esmių – amžinų ir nekintančių idėjų / eidų2. Priešingai nei dalyvavimo (methexis) sąvoka, kuria Platonas siekė turiningai nusakyti santykį tarp atskirybių ir eidų, atskyrimo terminu bandoma akcentuoti radikali skirtis tarp to, kaip daiktas yra suvokiamas juslėmis, ir to, ką galima būtų vadinti šio daikto esme (ousia), t. y. to, kas padaro daiktą tuo, kuo jis yra. Čia pat galima pastebėti, kad nors šią sąvoką Platonas vartojo gana dažnai, vis dėlto jis niekur nepateikė detalesnio paaiškinimo3, į ką šis atskyrimo santykis iš tiesų nurodo bei kokios šio esminio santykio tarp atskirybių ir esmių implikacijos – ar khōrismos santykis nurodo į skirtingą dviejų objektų ontologinį arba pažintinį statusą (amžini versus nuolat kintantys objektai arba žinojimo (epistēmē) versus tikėtino manymo (doxa) objektai)? Gal šis santykis tiesiog reiškia, kad jusliškai suvokiamos atskirybės ir eidai yra skirtingose vietose – pirmosios priklauso mirtingųjų ir nuolatinio tapsmo pasauliui, o antruosius galima rasti tik dievų pasaulyje arba Faidre aprašytoje „tiesos lygumoje“4? O gal atskyrimo sąvoka numato abi šias reikšmes? Jei reikėtų remtis vien tik Platono dialogais, vargu, ar būtų įmanoma pateikti aiškų atsakymą į šiuos klausimus, tačiau užuominų į šią metafizinę doktriną bei netgi bandymą ją kritikuoti galima rasti garsiojo Platono mokinio Aristotelio veikaluose, tad šio filosofo kūrybinį palikimą galima laikyti tinkamu khōrismos santykio tyrimo pradžios tašku.

Šį klausimą nagrinėjusi Platono ir Aristotelio filosofijos tyrėja Gail Fine (2003) įtikinamai atskleidė, kaip atskyrimo terminą savo kūriniuose vartojo pats Aristotelis bei kokia jo pateikiamos kritikos specifika – atsiremdamas į atskyrimą kaip pirmiausia ontologinio pobūdžio santykį (t. y. du daiktai yra khōris, jei jie gali egzistuoti nepriklausomai vienas nuo kito), Aristotelis savo veikale Metafizika bandė parodyti, kad atskirai šia prasme gali egzistuoti tik atskirybės. Maža to, gebėjimu egzistuoti atskirai pasižymi būtent daiktų esmės (substancijos), o tai savo ruožtu reiškia, kad Platono eidai (kurie, pasak paties Aristotelio, yra bendrybės (Met. 1078b305)) negali būti daiktų esmėmis, kadangi negali būti tokių bendrybių, kurios galėtų egzistuoti atskirai nuo jas instancijuojančių atskirybių. Tiesa, derėtų pastebėti, kad nėra visiškai aišku, ar ir pats Platonas laikėsi tokių pat griežtų substancialumo kriterijų, kaip Aristotelis. Dėl šios priežasties taip pat derėtų įtariai traktuoti teiginį, kad Aristotelio pateikiama kritika pritaikoma paties Platono pasisakymams apie khōrismos santykį6.

Nors gana aišku, kaip Aristotelis kritikuoja atskyrimo santykį susiedamas šį su konkrečiu substancialumo kriterijumi, vis dėlto bendrybės, pasak Aristotelio, nebuvo vienintelė esinių klasė, kurią Platonas atskyrė (ekhōrisen) nuo jusliškai suvokiamų atskirybių. Metafizikos 13-ame ir 14-ame skyriuose (knygose M ir N) išsikėlęs tikslą ištirti, ar esama kokių nors jusliškai nesuvokiamų esmių, kurios egzistuoja šalia (para) įprastų esinių (ibid.: 1076a10), Aristotelis iškart pastebi, kad nuodugnesnio tyrimo nusipelno tik dvi šią tezę teigiančios nuomonės. Viena iš jų – tai ką tik minėtoji eidų teorija. Antroji – tai nuomonė, kad šios juslėmis nepagaunamos esmės yra skaičiai (arithmoi). Įdomu tai, kad Metafizikos knygose M ir N didžiausias dėmesys sutelktas būtent į šių dviejų teorijų nagrinėjimą, o tyrimo pabaigoje Aristotelis konstatuoja, kad nei eidai, nei skaičiai negali egzistuoti atskirai nuo konkrečių, jusliškai suvokiamų esinių. Aristotelio pasirinkimą šias teorijas tirti vieną greta kitos (kaip tematiškai giminingas) galima laikyti dar viena užuomina į atskyrimo doktrinos turinio klausimą – aktualiausias šioje vietoje yra Aristotelio pastebėjimas, kad tiek eidų, tiek ir skaičių atskyrimas nuo kitų esinių yra vienas išskirtinių Platono metafizikos bruožų.

Būtent pastarąjį teiginį galima laikyti šio tyrimo išeities tašku, kuriuo paremta pagrindinė jo tezė – abu Aristotelio Metafizikoje nagrinėti atskyrimai (eidų ir skaičių) yra neatsiejamai susiję, ir, mėgindamas juos sukritikuoti, Aristotelis dviem aspektais bando paneigti Platono metafizikos projektą. Viena vertus, kritikuodamas eidų atskyrimą, Aristotelis bandė įrodyti, kad bendrybės nenusipelno privilegijuoto statuso atskirybių atžvilgiu, o kadangi Platonas eidus suvokė kaip bendrybes, vadinasi, jų nereikėtų laikyti daiktų esmėmis. Kita vertus, kritikuodamas skaičių (ir visų matematikos mokslo objektų bendrąja prasme) atskyrimą, Aristotelis bandė paneigti esant ypatingą ryšį, kuris Platono filosofijoje esą egzistuoja tarp matematinių objektų ir amžinų, nekintančių eidų7. Taigi, pagrindinis šio tyrimo tikslas yra aptarti šių dviejų atskyrimų kritiką Aristotelio filosofijoje, išryškinti bei palyginti joje daugiausiai vartojamas sąvokas bei argumentus ir remiantis jais galiausiai parodyti, kokio ryšio esama tarp Platono metafizikos bei požiūrio į matematiką ir šio mokslo objektus (ar bent jau kokį ryšį tarp jų įžvelgė pats Aristotelis).

Atsižvelgiant į tyrimo pagrindinį tikslą, keliami šie uždaviniai:

1) Nurodyti argumentus, kuriais remdamasis Aristotelis kritikuoja tiek skaičių, tiek ir eidų khōrismos, bei išsiaiškinti esminius šių argumentų skirtumus, t. y. ar pozicijai, kad matematikos objektai egzistuoja atskirai, Aristotelis nepritarė dėl tų pačių priežasčių, kaip ir pozicijai, kad bendrybės (eidai) egzistuoja atskirai nuo jusliškai suvokiamų atskirybių.

2) Pasinaudojant Aristotelio liudijimu, parodyti, kodėl Platonas priėjo prie išvados, kad bendrybės egzistuoja atskirai nuo jusliškai suvokiamų atskirybių (Met. 987a30; 1078b30).

3) Parodžius ryšį tarp eidų ir skaičių atskyrimo doktrinų, pamėginti pateikti preliminarų mąstymo judėjimo nuo „grynųjų“ skaičių prie pačių eidų aprašymą, t. y. kokiu būdu senovės graikų mąstymui specifiškas skaičiaus suvokimas8 galėjo padaryti ženklią įtaką Platono ir paties Aristotelio metafizinėms pažiūroms.

I

Termino khōrismos kritikos Aristotelio Metafizikoje tyrimą galima pradėti nuo pastebėjimo, kad ši sąvoka Aristotelio kūryboje vartota daugeliu reikšmių ir pačiuose įvairiausiuose kontekstuose, tačiau galima išskirti tris pagrindines šio termino reikšmes, aktualiausias šio tyrimo tikslams. Pasak Gail Fine (2003: 255–256), Aristotelio filosofijoje sąvoka khōrismos galėjo reikšti9:

a) Atskyrimą vietos atžvilgiu (khōrismos topō(i)) – A ir B yra atskirti vietos atžvilgiu, jei paprasčiausiai yra dviejose skirtingose vietose (Ph. 226b21)10.

b) Atskyrimas apibrėžimo atžvilgiu (khōrismos logō(i)) – A ir B yra atskirti apibrėžimo atžvilgiu, jei nors vieną iš šių objektų galima apibrėžti neminint kito objekto apibrėžimo (Met. 130b25; 1064a24).

c) Atskyrimas būties atžvilgiu (khōriston haplōs) – A ir B yra atskirti būties atžvilgiu, jei vienas iš šių objektų gali egzistuoti nepriklausomai nuo kito (ibid.: 1019a1–4).

Pažvelgus į šio termino vartoseną Metafizikos knygose M ir N, palengva išryškėja aiškesnis ir detalesnis Aristotelio pateikiamos khōrismos sąvokos kritikos vaizdas. Kadangi šiuose skyriuose Aristotelis mėgina atsakyti į klausimą, ar eidus arba matematinius objektus galima laikyti substancijomis, šį tyrimą galima struktūruoti analogiškai – atitinkamai atskirai aptarti kiekvieną iš šių galimybių bei su ja susijusią khōrismos reikšmę11.

Anot Aristotelio, pagrindinį postūmį eidų teorijai suteikė Herakleito tezė, kad viskas amžinai kinta ir pasaulyje nėra nieko pastovaus. Čia verta pacituoti visą Aristotelio liudijimą:

Idėjų teorijos sekėjai savo nuomonės laikėsi todėl, kad buvo įtikinti Herakleito doktrinos, jog visi jusliškai suvokiami daiktai (pantōn tōn aisthēton) nuolatos kinta ir sunyksta, tad jei žinojimas ar mąstymas iš tiesų turi kažkokį objektą, tai turėtų būti nekintančios esybės, esančios greta tų, kurios suvokiamos jusliškai (para tas aisthētas); nes neįmanoma nieko žinoti apie daiktus, kurie nuolatos kinta. (ibid.: 1078b10–15)

Šioje ištraukoje Aristotelis susikoncentruoja į vieną įdomų faktą – nors jusliškai suvokiamų atskirybių pasaulio negalima laikyti pakankamu pagrindu žinojimui, vis dėlto esama tokio dalyko kaip žinojimas. Tačiau kas šiuo atveju yra žinojimo objektas? Akivaizdu, kad tai nėra ką tik minėtieji jusliškai suvokiami daiktai, kadangi šie tai nuolatos atsiranda, tai nuolatos dingsta arba vienu metu turi vieną savybę, o kitu metu – kitą savybę. Vadinasi, žinojimas privalo būti susijęs su kitokio pobūdžio esybėmis, kurios turi būti nekintančios, neatsirandančios ir neišnykstančios (amžinos). Šioje vietoje verta pastebėti, kad Aristotelis dar nekalba apie atskyrimą – jis tik pastebi, jog pirmieji eidų teorijos proponentai teigė žinojimo objektus egzistuojant šalia / greta (para) jusliškai suvokiamų atskirybių.

Be ką tik minėtosios Herakleito amžino tapsmo tezės, lemtingą įtaką eidų teorijai, pasak Aristotelio, padarė Sokratas ir jo filosofiniai tyrinėjimai – Sokratas buvo pirmasis, kuris „iškėlė visuotinio apibrėžimo (katholou) problemą“ (ibid.: 1078b18), t. y. siekė surasti ne tai, kas, pavyzdžiui, yra „drąsu“ vienu ar kitu atveju, tačiau mėgino išsiaiškinti, kas yra tas dalykas, kurį visi vadina „drąsa“ ir kuris vienu ar kitu pavidalu pasirodo visais atvejais, kur tik poelgis ar asmuo nusakomas šia sąvoka. Anot Aristotelio, Sokrato įkvėpti eidų teorijos proponentai tada atskyrė šiuos visuotinius apibrėžimus nuo jų konkrečių instancijų, teigdami, jog būtent šie apibrėžimai yra tikrieji žinojimo objektai ir jusliškai suvokiamų daiktų esmės. Tiesa, tai jau buvo pozicija, nebūdinga pačiam Sokratui: „tačiau Sokratas nei bendrybių (ta katholou), nei apibrėžimų (tous horismous) nemanė egzistuojant atskirai [nuo visų kitų daiktų] (khōrista); o jo sekėjai [t.y. eidų teorijos proponentai] atskyrė šiuos dalykus (ekhōrisan) ir juos pavadino eidais“ (ibid.: 1078b30–32).

Iš ką tik pacituotų ištarų tampa aišku, kad eidų teorija, pasak Aristotelio, turėjo atsirasti pagal tokias prielaidas ir jų seką12:

1. Jusliškai suvokiamos atskirybės negali būti žinojimo (nebent tik manymo) objektais, kadangi jos yra nuolat kintančios.

2. Vis dėlto yra toks dalykas, kuris vadinamas „žinojimu“.

3. Tai reiškia, jog žinojimo koreliatai turi būti visiškai kitokio pobūdžio nei ką tik minėtos atskirybės.

4. Žinojimo objektai turi būti bendrybės, nesuvokiamos juslėmis ir nekintančios (amžinos).

5. Šios esybės – tai eidai.

Kitaip tariant, pasak Aristotelio, eidų atskyrimo doktrinos pagrindu tapo teiginys, kad žinojimo objektai privalo skirtis nuo jusliškai suvokiamų atskirybių. Turint omenyje anksčiau minėtas termino khōrismos reikšmes, galima pamėginti atsakyti į svarbų klausimą: kurią reikšmę šioje istorijoje pirmiausia turėjo omenyje Aristotelis? Remiantis pačiu liudijimu, reikėtų daryti išvadą, kad Aristotelis čia tikrai neturi omenyje atskyrimo vietos atžvilgiu – istorijoje pabrėžiama, kad eidų teorijos proponentai iš teiginio, kad žinojimo objektai privalo skirtis nuo jusliškai suvokiamų atskirybių, padarė išvadą, kad šie objektai privalo egzistuoti atskirai; istorijoje nėra jokių užuominų apie tai, kad žinojimo objektai yra kažkokioje kitoje vietoje nei manymo objektai vien todėl, kad jie skiriasi nuo pastarųjų. O kaip yra su kitomis dviem atskyrimo rūšimis?

Tiek atskyrimas apibrėžimo, tiek atskyrimas būties atžvilgiu Aristotelio filosofijoje yra susiję su substancialumo problema, t. y. kas yra būdinga daikto esmei / substancijai (ousia); kuo skiriasi daikto esmė nuo to, kas jam nepriklauso iš esmės, t. y. nuo daikto akcidencijų (ta sumbebēkota)? Anot Aristotelio, pagrindiniai substancijos bruožai yra „gebėjimas egzistuoti atskirai (to khōriston) ir individualumas (to tode ti)“ (ibid.: 1029a25–30) – „gebėjimas egzistuoti atskirai“ čia gali reikšti tik atskyrimą būties atžvilgiu13. Į tai, kad Aristotelis čia neturi omenyje atskyrimo apibrėžimo atžvilgiu, nurodo ir kitas svarbus faktas – Aristotelio metafizikoje tai, kas konkretu ir individualu, negali būti pirmiau (proteron) bendrybių būtent apibrėžimo (logo(i)) atžvilgiu – „apibrėžime bendrybės yra pirmesnės [atskirybių atžvilgiu]“ (ibid.: 1018b30–35). Pavyzdžiui, nors konkretus baltas vyras yra pirmesnis ontologine prasme, sąvoka „baltas“ visada bus pirminė už „baltą vyrą“ apibrėžimo atžvilgiu; terminas „baltas vyras“ kaip apibrėžimas yra prasmingas tik dėl apibrėžimo „baltas“. Tačiau ontologine prasme situacija apsiverčia aukštyn kojom – „baltas vyras“ kaip esinys yra pirmesnis už apibrėžimą „baltas“: „apibrėžimas negali egzistuoti kaip visuma be dalies; tai, kas muzikalu (mousikon), negali egzistuoti, jei nėra to, kuris yra muzikalus (mousikou tinos)“ (ibid.: 1018b35–36). Kitaip tariant, bendrybės gali būti atskirtos (egzistuoti atskirai) tik apibrėžimo atžvilgiu, bet negali neturėti instancijų ontologine prasme. Kita vertus, atskirybės egzistuoja atskirai nuo bendrybių būties (khōriston haplōs), bet ne apibrėžimo atžvilgiu.

Tad akivaizdu, jog Aristoteliui viena didžiausių problemų su eidų teorija buvo tezė, jog bendrybės gali egzistuoti atskirai nuo atskirybių tiek būties, tiek ir apibrėžimo atžvilgiu. Aristotelio pateikiama eidų teorijos atsiradimo istorija patvirtina šią interpretaciją – pirmieji eidų teorijos proponentai padarė klaidingą žingsnį išvesdami bendrybių substancialumą iš paprasčiausios jų skirties jusliškai suvokiamų atskirybių atžvilgiu (t. y. iš fakto, kad universalūs apibrėžimai yra nekintantys atskirybių atžvilgiu). Kaip pastebėjo Aristotelis, „tai, kas yra viena (to hen), negali būti daugelyje daiktų vienu metu, tačiau tai, kas yra bendra (koinon), yra daugelyje daiktų tuo pačiu metu“ (ibid.: 1040b25). Pasak Aristotelio, būti bendrybe reiškia būti šiuo koinon, kuris tuo pačiu metu yra daugelyje daiktų ir negali egzistuoti atskirai nuo savo instancijų. Pastebėtina, kad tai ir yra pagrindinis prieštaravimas, kurį Aristotelis pateikia eidų atskyrimo doktrinai14.

II

Aptarus eidų atskyrimo doktriną ir jos kritiką Aristotelio Metafizikoje, derėtų išsiaiškinti, kaip Aristotelis (pats knygos M pradžioje teigęs, jog eidų bei matematikos objektų atskyrimo doktrinos yra susiję klausimai ir turi būti nagrinėjami kartu) traktavo skaičių atskyrimo doktriną. Pirmiausia verta pastebėti, kad (priešingai nei eidų teorijos atžvilgiu) Aristotelis nė neketino neigti matematikos objektų egzistavimo, tiesiog patikslinti jų būties būdą: „mūsų diskusijos tema nebus, ar jie [matematikos objektai] apskritai egzistuoja, bet kokiu būdu jie egzistuoja [peri tou tropou]“ (ibid.: 1076a35–36). Anot Aristotelio, šio klausimo atžvilgiu esama dviejų nuomonių, tačiau nė viena iš jų nesanti teisinga – nei nuomonė, jog matematikos objektai yra (en) pačiuose daiktuose, nei nuomonė, jog jie egzistuoja atskirai nuo jusliškai suvokiamų daiktų. Kadangi šiame tyrime koncentruojamasi į atskyrimo doktrinos klausimą, pirmosios pozicijos aptarimas bus paliktas nuošalyje.

Aristotelis akimirksniu leidžia suprasti, kad matematikos objektai atskirai egzistuoti negali dėl tos pačios priežasties, kaip ir eidai – tik daikto esmei / substancijai (kuri yra konkreti ir individuali) būdingas atskyrimas būties atžvilgiu. Eidai yra bendrybės, tad jie negali egzistuoti atskirai šia prasme. Nors matematikos objektai nėra bendrybės, tačiau jie taip pat negali būti laikomi daiktų esmėmis. Aristotelis matematikos objektams linkęs suteikti pirmumą apibrėžimo atžvilgiu, bet perspėja skaitytoją, kad „ne visi daiktai, kurie turi pirmenybę apibrėžime, turi pirmenybę kaip substancijos. Pirmenybę kaip substancijos turintys daiktai net ir atskirti nuo kitų daiktų nepaliauja buvę <...> ir šios dvi ypatybės [pirmumas substancialumo ir pirmumas apibrėžimo prasmėmis] viena su kita nepersidengia“ (ibid.: 1077b1–5). Šiuo atveju matematikos objektų ontologinis statusas atsiduria įdomioje situacijoje – anot Aristotelio, jie negali egzistuoti atskirai, tačiau taip pat negali būti ir pačiuose daiktuose. Tai reiškia, kad matematikos objektai arba išvis neegzistuoja, arba jų buvimo būdas skiriasi nuo ką tik išvardytų variantų. Kadangi Aristotelis knygos M pradžioje skaitytoją tikina, kad matematikos objektai tikrai egzistuoja, vadinasi, reikia deramai paaiškinti jų buvimo būdą.

Kalbant apie matematiką ir jos sritis (aritmetiką, geometriją ir t. t.), galima pradėti nuo paties paprasčiausio pastebėjimo, kad kiekviena iš šių sričių turi savo tyrimo objektą – aritmetika užsiimantis mokslininkas nagrinėja skaičius ir jų esmines savybes, geometriją tiriantis matematikas tyrinėja įvairiausias plokštumas ir figūras ir t. t. Matematikoje ypač reikšminga dar ir tai, kad šio mokslo objektai nėra jusliškai suvokiami. Pavyzdžiui, norėdamas pailiustruoti Pitagoro teoremą, mokytojas nubrėžia statųjį trikampį ant smėlio ir tada trikampio statiniams priskiria reikšmes „4“ ir „3“ nepriklausomai nuo to, kokio ilgio yra čia ir dabar nubraižyto stačiojo trikampio statiniai. Šis neatitikimas tarp to, ką mokytojas bando parodyti ir kokie iš tiesų yra nubraižyto stačiojo trikampio matmenys, nereiškia, kad Pitagoro teorema staiga tampa klaidinga. Kaip tik priešingai – Pitagoro teorema gali būti sėkmingai pritaikyta bet kokiam nubraižytam stačiajam trikampiui, kuris tik kada buvo ar bus nubraižytas, t. y. pavaizduotas. Tiesa, Aristotelio teigimu, tai nereiškia, kad matematikoje nagrinėjami kažkokie atskirai egzistuojantys esiniai.

Anot Aristotelio, „idealus“ trikampis, kurį siekia ištirti matematikas, iš tiesų yra tas pats jusliškai suvokiamas statusis trikampis, tiesiog jis yra tiriamas atsiribojant nuo bet kokių su jusliškumu susijusių savybių, kurios nėra aktualios pačiam tyrimui: „matematikas nagrinėja tai, kas atsieta [nuo jusliškumo] (peri ta eks aphaireseōs tēn theōrian poieitai), kadangi savo tyrime jis panaikina bet kokį jusliškumą <...> ir palieka tik tai, kas susiję su kiekybe“ (ibid.: 1061a25–30). Matematikas nagrinėja vieną ar kitą trikampį, tačiau traktuoja nagrinėjamą trikampį ir jo savybes kaip nesusijusius su jusliškumu. Viena vertus, tokiu būdu aiškindamas matematikos objektų būtį, Aristotelis bando paneigti nuomonę, jog šie gali egzistuoti atskirai (t. y. kaip gali egzistuoti tik substancijos) nuo jusliškai suvokiamų atskirybių. Kita vertus, Aristotelis bando parodyti, kodėl matematikos mokslai vis dėlto pasižymi objektyvumu – „matematikos mokslai dėl šios priežasties netaps nei jusliškai suvokiamų esybių, nei kažkokių kitų, nuo šių esybių atskirai esančių daiktų mokslais“ (ibid.: 1078a1–5).

Vadinasi, tiek matematikos objektai, tiek eidai (kaip bendrybės) negali egzistuoti atskirai nuo jusliškai suvokiamų daiktų ontologine prasme (khōriston haplōs), kadangi nei vieni, nei kiti neatitinka griežtų substancialumo kriterijų, kuriuos iškėlė Aristotelis – anot jo, daikto esmė individuali ir gali egzistuoti atskirai. Eidus Aristotelis interpretuoja kaip bendrybes ir kaip substancijas, tad jos negali egzistuoti atskirai. Kita vertus, matematikos objektai nėra substancijos, tad jie taip pat negali egzistuoti atskirai. Tiesa, abi esinių klasės yra pirmesnės už jusliškai suvokiamas atskirybes būtent apibrėžimo atžvilgiu.

III

Bendras eidų ir matematikos objektų tyrimas Metafizikos 13-ame skyriuje aiškiai parodo, jog Aristotelis manė šias temas esant kažkaip susijusias. Tokią interpretaciją patvirtina ir Aristotelio ištaros kituose Metafizikos skyriuose. Pavyzdžiui, knygoje A, aptarinėdamas Platono filosofines pažiūras, Aristotelis pastebi, kad „[Platonas] teigė šalia jusliškai suvokiamų daiktų ir eidų esant matematikos objektus, kurie užimą tarpinę poziciją (metaxu) – jie skiriasi nuo pirmųjų, nes yra amžini ir nekintantys“ (ibid.: 987b13–15). Aristotelis čia pat priduria, kad „[taip pat jam būdingas] požiūris, kad skaičiai egzistuoja atskirai nuo jusliškai suvokiamų daiktų“ (ibid.: 987b25–30). Naudojantis ką tik aptartomis ištraukomis, galima palyginti Platoną su Pitagoru ir jo mokyklos atstovais, kurie, anot Aristotelio, manė, jog skaičių būtis sutampa su įprastų daiktų būtimi. Priešingai nei manė Platonas, pitagorininkai teigė, kad skaičiai yra „patys daiktai“ (auta ta pragmata). Ši skirtis tarp Platono ir pitagorininkų yra svarbi, kadangi Metafizikos knygose M ir N Aristotelis skaičių atskyrimo doktrinos tiesiogiai nesiejo būtent su Platono pozicija. Tad ši Metafizikos pradžioje pastebėta detalė patvirtina jau anksčiau išsakytą poziciją, kad Aristotelis skaičių ir eidų atskyrimo doktrinas laikė susijusiomis problemomis ir atitinkamai siekė jas išnagrinėti (tai liudija bendra knygų M ir N struktūra).

Norint toliau tirti šių doktrinų ryšį, derėtų atkreipti dėmesį į šiuos Aristotelio pastebėjimus:

1. Ne Sokratas, bet Platonas buvo pirmasis, atskyręs apibrėžimus (bendrybes) nuo jusliškai suvokiamų atskirybių.

2. Ne pitagorininkai, bet Platonas buvo pirmasis, atskyręs skaičius (ir kitus matematikos objektus) nuo jusliškai suvokiamų atskirybių.

Čia vertėtų prisiminti knygoje M Aristotelio minėtą pasakojimą, kad apibrėžimai buvo atskirti nuo jusliškai suvokiamų atskirybių todėl, kad eidų teorijos proponentai mėgino surasti tikruosius žinojimo objektus ir manė, kad žinojimas negali būti niekuo susijęs su jusliškumu. Žinojimo koreliatai turėtų būti esiniai, egzistuojantys šalia (para) juslių pasaulio, ir turėtų būti amžini bei nekintantys. Nors knygoje A Aristotelis pateikia labai panašų pasakojimą, tačiau šį kartą tiesiogiai pamini atskirai egzistuojančius skaičius – jie skiriasi nuo „jusliškai suvokiamų daiktų tuo, kad yra amžini ir nekintantys, o nuo eidų – tuo, kad kiekvienas eidas yra unikalus, o skaičių yra daugybė panašių“ (ibid.: 987b12–15). Šiame pasakojime Aristotelis netgi dar kartą pamini herakleitišką visuotinio tapsmo tezę bei žinojimo objektų problemą. Lyginant abu šiuos pasakojimus, pačiu ryškiausiu ir reikšmingiausiu skirtumu tarp jų derėtų laikyti tik viename iš pasakojimų minimą detalę, kad skaičiai yra amžini ir nekintantys esiniai, kurie vis dėlto nėra eidai, bet „tarpiniai“ esiniai, užimantys vietą tarp jusliškai suvokiamų daiktų ir pačių eidų. Taip pat pastebėtina, jog knygos A naratyve skaičiai netapatinami su žinojimo objektais, nors jiems priskiriami atributai (t. y. skaičiai yra amžini ir nekintantys) sutampa su knygos M istorijoje minimais žinojimo objektų kriterijais (šioje istorijoje teigiama, jog žinojimo objektai yra eidai, o ne skaičiai). Turint omenyje šiuos subtilius ir įdomius skirtumus tarp abiejų Aristotelio pateiktų istorijų, kokį būtų įmanoma įžvelgti ryšį tarp eidų atskyrimo ir skaičių atskyrimo doktrinų?

Visų pirma, nors ši detalė ir praleista knygoje A minimoje istorijoje, žinojimo ir skaičių (ar tiesiog matematikos objektų) problematika turėjo precedentą ankstyvųjų pitagorininkų kūryboje – pavyzdžiui, viename iš išlikusių Filolajo Krotoniečio fragmentų galima aptikti tokį teiginį: „Visi daiktai, kuriuos galima pažinti (gignōskomena), turi skaičių. Nes be šito neįmanoma nieko suprasti (noēthēmen) arba žinoti (gnōsthēmen).“15 Iš šio fragmento galima spręsti, kad Filolajas „skaičiaus turėjimą“ traktavo kaip tam tikrą būtiną prielaidą žinojimui atsirasti. Jo teigimu, daiktus galima pažinti ir suprasti tik todėl, kad šie turi skaičių. Patikimo, nekintančio žinojimo galimybė gali būti realizuota tik postuluojant skaičių, kaip šios galimybės įgyvendinimo garanto, egzistavimą.

Antra, ontologinio skaičių statuso ir žinojimo problemą taip pat sieja anksčiau minėtas matematikos objektų atsietumas nuo bet kokio jusliškumo – galima prisiminti, kad matematikas, kuris tyrinėja statųjį trikampį, iš tiesų nagrinėja ne trikampį, nubraižytą smėlyje, o idealųjį trikampį, kuris išlieka nepriklausomas nuo bet ko, kas benutiktų smėlyje nubraižytam trikampiui (ar apskritai bet kuriam praeityje egzistavusiam ar ateityje egzistuosiančiam trikampiui). Būtent dėl šios priežasties šis trikampio ir jo savybių tyrimas gali būti vadinamas mathēma, t. y. jis suteikia žinias, kurios gali būti pritaikytos bet kokiam kada nors egzistavusiam trikampiui ir perduotos kitiems. Kitaip tariant, matematikos objektų tyrimas nurodo į tikras žinias – nekintamas ir nepriklausomas nuo bet ko, kas vyksta juslių pasaulyje.

Trečia, turint omenyje tam tikrus Platono biografijos faktus16, jo kūryboje matematikos mokslams skirtą dėmesį bei akivaizdų istorinį tęstinumą tarp kai kuriuose Platono dialoguose nagrinėtų temų ir pitagorininkų bandymo pagrįsti žinojimo galimybę remiantis ypatingu matematikos objektų statusu, tampa vis aiškiau, kodėl pats Platonas galėjo pasirinkti matematikos objektus kaip paradigmatinius esinius, tiesiogiai susijusius su žinojimo, o ne manymo sritimi17. Turbūt patį ryškiausią šio ryšio pavyzdį galima surasti Platono Valstybėje, o tiksliau – šiame dialoge aprašomoje matematinių mokslų programoje, kurią privalo sėkmingai išklausyti visi būsimi idealiosios valstybės valdovai: Platono siūlomas matematikos mokslų kvadriviumas (aritmetika18, geometrija, stereometrija ir astronomija) ne tik laikomas vieninteliu valdovams tinkamu ugdymo planu, bet ir giriamas Platono ne todėl, kad gali padėti valdovams efektyviau tvarkytis kasdieniame valstybės gyvenime19 (pvz., išmokti, kaip teisingai išdėstyti kariuomenę mūšio lauke ar įkurti jai stovyklavietę), bet todėl, kad valdovo filosofo mintis nukreipia nuo įprastų, žemiškų reikalų ir paruošia jo sielą paties aukščiausio meno – dialektikos – studijavimui ir supratimui. Dialektika Platono siūlytame ugdymo plane užima pačią svarbiausią vietą, kadangi jos tyrimo objektai visiškai nesusiję su jokiu jusliškumu – tai patys eidai, jų tarpusavio ryšiai bei pirmasis pradas, kuris jau nepasiekiamas jokiomis prielaidomis (t. y. Gėrio idėja; Rep. 533c–d). Palyginus su tuo, ką Aristotelis liudija apie Platono vartotą triadą „jusliškai suvokiamos atskirybės – skaičiai – eidai“, galima teigti, jog Valstybėje Platonas pabrėžia, kad matematikos mokslai, nors ir turi reikalą su „idealiais“ objektais, vis tiek tam tikra prasme išlieka susiję su jusliškumu20, taigi, lieka nukreipti į objektus, kurie yra tam tikri „tarpiniai“ esiniai tarp eidų ir jusliškai suvokiamų atskirybių (kaip ir liudijo Aristotelis!).

Taigi, akivaizdu, kad Aristotelio pateikta istorija, kurioje Platonas minimas kaip filosofas, kuris pirmasis atskyrė matematikos objektus nuo įprastų, jusliškai suvokiamų daiktų ir postulavo šiuos objektus esant tarpinius esinius tarp mąstymo ir jusliškumo, turi pagrindą tiek paties Platono kūryboje, tiek ir ankstyvųjų pitagorininkų fragmentuose. Paskutinis elementas, kurį derėtų išanalizuoti – tai privilegijuota pozicija, kurią Platonas savo filosofijoje (Aristotelio teigimu) priskyrė skaičiui (arithmos).

Anksčiau minėti Filolajo Krotoniečio ir Archito Tarentiečio fragmentai parodo, jog arithmos sąvoka buvo labai svarbi ankstyvųjų pitagorininkų filosofijoje. Galima prisiminti, kad Filolajui „turėti skaičių“ taip pat reiškė galimybę būti pažinimo objektu. O Architui matematikos mokslų plėtotė glaudžiai susijusi su teisingumo bei santarvės įtvirtinimu polyje. Didelę reikšmę skaičiams ir jų nagrinėjimui teikė ir Platonas – anot jo, skaičiavimo meno (logistikē) įvaldymas susijęs su pačios tiesos paieškomis (esmių mąstymu). Remiantis Aristotelio pateiktu liudijimu, ryšys tarp žinojimo problemos ir matematikos objektų ontologinio statuso šiems filosofams buvo ganėtinai aiškus, ir tai paskatino juos išaukštinti šiuos objektus per jusliškai suvokiamas atskirybes.

Senovės graikų matematikos istoriją nagrinėjęs filosofas Jacobas Kleinas (1992) taip pat pastebėjo, kad tokią sąvokos arithmos svarbą pitagorininkų, Platono ir paties Aristotelio mąstyme galima paaiškinti skaičiaus ir skaičiavimo fenomenų specifiniu suvokimu, kuris buvo būdingas senovės graikams. Kleino (1992: 46) teigimu, skaičiaus sąvoka senovės graikams buvo neatsiejama nuo paties paprasčiausio skaičiavimo veiksmo – skaičius visada nurodo į du ar daugiau čia ir dabar esančių daiktų21. Na, o patys svarbiausi skaičiavimo veiksmo aspektai, tiesiogiai nurodantys į galimą skaičių atskyrimą nuo jusliškai suvokiamų objektų – tai skaičiuojamų objektų vienarūšiškumo reikalavimas bei pačiam skaičiui būdingas vienis (t. y. tas pats vienas skaičius apima ir sujungia visus po juo esančius elementus22). Vienarūšiškumo reikalavimas reiškia, kad skaičiavimo metu vardijami objektai (nesvarbu, kuo jie skiriasi vienas nuo kito) privalo būti traktuojami kaip vienarūšiai23. Nors skaičiui būdingas vienis numato tokią arithmos fenomeno interpretaciją (kuri ypač aktuali mėginant suprasti Platono filosofinę poziciją) – skaičius gali apimti daugybę pačių įvairiausių daiktų, tačiau jo negalima sutapatinti nė su vienu individualiu daiktu, kuris yra to skaičiaus elementas24. Kitaip tariant, perėjimas nuo skaičių prie eidų čia tampa tarsi ranka pasiekiamas – jei skaičiai išreiškia kiekybinę jusliškai suvokiamų objektų tapatybę, gal egzistuoja tokios esybės, kurios išreiškia kokybinę jusliškai suvokiamų objektų tapatybę (t. y. tapatybę rūšies atžvilgiu)? Kaip pastebi Aristotelis (Met. 1084b20–25; 1085a25–30),

[eidus su skaičiais tapatinusiųjų] pagrindinė klaida buvo ta, jog šie tuo pat metu mėgino savo tyrimą atlikti iš dviejų skirtingų pozicijų – matematikos ir bendrųjų apibrėžimų (ek tōn mathēmatōn ethēreuon kai ek tōn logōn tōn katholou) <...>. Kai suvokiame vienį, esantį skaičiuje „du“ (arba skaičiuje apskritai), ar suvokiame kažkokį daiktą savaime, ar kažką kitą (hotan gar noē(i) tis en tē(i) duadi to hen kai holōs en arithmō(i), poteron auto noei ti ē heteron)?

Čia derėtų pabrėžti, kad nors Aristotelio matematikos filosofija taip pat buvo paremta tuo pačiu arithmos suvokimu, kaip ir Platono metafizikos projektas, vis dėlto Aristotelis susikoncentravo į faktą, jog bet kuris skaičius iš esmės yra tam tikrų individualių daiktų (pvz., žirgų, šunų25) kiekybinė išraiška. Matematikos moksluose skaičiai visada tiriami atsietai nuo jusliškai suvokiamų atskirybių, kurių kiekybę jie išreiškia. Tačiau tai tikrai nereiškia, kad skaičiams būdingas kažkoks ypatingas ontologinis statusas, leidžiantis teigti, jog jie gali egzistuoti atskirai nuo jusliškai suvokiamų atskirybių: „Būti skaičiuje (einai en arithmō(i)) reiškia, kad yra tam tikro daikto skaičius (einai tina arithmon tou pragmatos) ir tas daiktas yra pamatuotas skaičiumi, kuriame jis yra (kai metreisthai to einai autou tō(i) arithmō(i) en hō(i) estin)“ (Ph. 221b14–15).

Išvados

Straipsnyje nagrinėti Aristotelio argumentai, kurie nukreipti prieš eidų ir skaičių khōrismos, bei Metafizikoje kelis kartus pakartotas liudijimas apie eidų teorijos atsiradimą leidžia daryti išvadą, jog šie du atskyrimai Platono filosofijoje turėtų būti traktuojami kaip susijusios problemos. Eidų (t. y. bendrybių) atskyrimą, anot Aristotelio, derėtų kildinti iš privilegijuoto statuso, kurį Platonas esą suteikė matematikos objektams (ir atskyrė juos nuo jusliškai suvokiamų atskirybių). Nors šias problemas ir galima nagrinėti kiekvieną atskirai (ką ir daro Aristotelis), vis dėlto Metafizikos knygų M ir N bendra struktūra parodo, kad Aristotelis šias problemas suvokė kaip iš esmės glaudžiai susijusias. Tokią išvadą taip pat galimai įrodo ir Aristotelio pateikiamas liudijimas apie esminius skirtumus tarp pitagorininkų ir Platono (būtent skaičių ontologinio statuso klausimu) bei šių dviejų filosofinių pozicijų esminės sąsajos su arithmos fenomenu senovės graikų mąstyme. Ši išvada atitinkamai leidžia kelti tolesnį klausimą ir nubrėžia kryptį tolesniems klausimams bei tyrimams – ar pačiuose Platono dialoguose iš tiesų taip ryškiai išreiškiamas kontrastas / ryšys tarp eidų ir skaičių ontologinio statuso (kaip teigė Aristotelis); kaip tokio Aristotelio liudijimo kontekste galima būtų interpretuoti Platono dialogus, tiesiogiai analizuojančius matematinę problematiką (pvz., Menonas, Timajas ir kt.), t. y. ar juose iš tiesų pastebėtina radikaliai pitagorininkų atžvilgiu skirtinga matematikos objektų interpretacija; ar galima ne tik konstatuoti esant sąryšį tarp eidų ir skaičių atskyrimo doktrinų, bet ir įtikinamai parodyti esant priežastingumo ryšį tarp matematikos objektų atskyrimo ir eidų atskyrimo.

Literatūra

Aristotle, 1924. Aristotle’s Metaphysics, ed. W. D. Ross. Oxford: Clarendon Press. Prieiga per internetą: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0051.

Aristotle, 1936. Aristotle’s Physics, ed. W. D. Ross. Oxford: Clarendon Press.

Cherniss, H. F., 1946. Aristotle’s Criticism of Plato and the Academy. Baltimore: The John Hopkins Press.

Fine, G., 2003. Separation. In: Plato on Knowledge and Forms. Selected Essays. Oxford: Oxford University Press, 252–300.

Huffman, C. A., 2005. Archytas of Tarentum. Pythagorean, Philosopher and Mathematician King. Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/cbo9780511482533

Huffman, C. A., 1993. Philolaus of Croton. Pythagorean and Presocratic. Cambridge: Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/cbo9780511597367

Kardelis, N., 2007. Vienovės įžvalga Platono filosofijoje. Vilnius: Versus Aureus.

Klein, J., 1992. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. New York: Dover Publications, Inc.

Mabbott, J. D., 1926. Aristotle and the χωρισμός of Plato. The Classical Quarterly 20(2): 72–79. Prieiga per internetą: https://www.jstor.org/stable/636338.

Plato, 1925a. Greater Hippias. Plato in Twelve Volumes, Vol. 9. Translated by W. R. M. Lamb. Cambridge, MA: Harvard University Press; London: William Heinemann Ltd. Prieiga per internetą: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0180.

Plato, 1925b. Parmenides. Plato in Twelve Volumes, Vol. 9. Translated by H. N. Fowler. Cambridge, MA: Harvard University Press; London: William Heinemann Ltd. Prieiga per internetą: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0174.

Plato, 1969. Republic. Plato in Twelve Volumes, Vols. 5 & 6. Translated by P. Shorey. Cambridge, MA: Harvard University Press; London: William Heinemann Ltd. Prieiga per internetą: http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0168.

Platonas, 1996. Faidras. Iš senosios graikų k. vertė N. Kardelis.Vilnius: Aidai.

Platonas, 2000. Valstybė. Iš senosios graikų k. vertė J. Dumčius. Vilnius: Pradai.

1 Pasak J. D. Mabbotto (1926: 72), nors konkrečios Platono metafizinės sistemos detalės gali likti neaiškios, khōrismos doktrina yra, ko gero, vienintelis jo filosofijos elementas, dėl kurio autentiškumo nereikėtų abejoti.

2 Šiame tyrime graikiški terminai eidos ir idea verčiami pagal Naglio Kardelio (2007: 85–91) siūlymą – tiesiog kaip „eidas / idėja“, kadangi įprastinė šių žodžių reikšmė („pavidalas“, „išvaizda“) netinka nusakyti esiniams, kuriuos pats Platonas laikė esant anapus jusliškumo, tiesiogiai pasiekiamus tik mąstymu.

3 Kaip ir termino methexis atveju.

4 Faidras, 248b–c.

5 Cituojama pagal: Aristotle 1924.

6 Fine (2003: 295) pastebi, kad Platono dialoguose nėra įtikinamų įrodymų, kurie pagrįstų Aristotelio pačiam Platonui priskiriamą atskyrimo doktrinos versiją.

7 Galima pastebėti, jog šis teiginys Platono filosofijoje aiškiausiai išreikštas Valstybėje, kurioje aprašomas mąstymo kelias, prasidedantis atvaizdų ir šešėlių karalystėje bei per „grynųjų“ matematikos disciplinų taikymą galiausiai privedantis prie dialektikos meno ir per jį pasiekiamos „visa ko pradžios, kuriai jau nereikia jokių prielaidų (mekhri tou anupothetou epi tēn tou pantos arkhēn iōn)“ (Rep. 511b; cituojama pagal: Plato 1969). Didžiausias uždavinys šio teiginio atžvilgiu išlieka aiškiai ir nuosekliai parodyti, kokiu būdu šie Platono metafizikos aspektai susiję tarpusavyje.

8 Išsamiausiai aprašytas filosofo Jacobo Kleino (1992) atliktuose tyrimuose.

9 Fine teisingai pastebi, kad terminas khōrismos veikiausiai turi ir daugiau prasmių, tačiau šiame straipsnyje apsiribota tyrimui aktualiausiais šio termino vartojimo būdais.

10 Cituojama pagal: Aristotle 1936.

11 Žvelgiant į šiuos Metafizikos skyrius, galima daryti prielaidą, jog Aristotelis eidų ir skaičių atskyrimo klausimus laikė giminingomis problemomis: „o dėl Idėjų – pirmiausia turime ištirti Idėjų teoriją pačią savaime, jokiais būdais nesiedami jos su skaičių prigimtimi“ (Met. 1078b10). Ši pastaba veikiausiai nebūtų buvusi paminėta, jei Aristotelis šiuos du klausimus būtų laikęs izoliuotomis problemomis.

12 Nors G. Fine (2003: 266) pateikia panašią šios sekos schemą, šiame tyrime eidų teorijos atsiradimo schema nusakoma siekiant ne tik išryškinti judėjimą nuo jusliškai suvokiamų atskirybių nepažinumo tezės iki amžinų ir nekintančių eidų postulavimo (tokiu tikslu schemą naudoja Fine), tačiau ir norint atskleisti, kodėl, pasak Aristotelio, eidų teorijos kilmė parodo, jog eidai kaip esybės privalo būti bendrybės.

13 Aristotelio filosofijoje Sokratą galima laikyti jusliškai suvokiama substancija, o pirminį judintoją – nejusliška substancija. Abu yra konkrečios (individualios) esybės, egzistuojančios atskirai nuo visų kitų daiktų.

14 Šio tyrimo kontekste svarbiausia buvo parodyti, kodėl, anot Aristotelio, eidai negali egzistuoti atskirai nuo jusliškai suvokiamų atskirybių. Atskiras išlieka klausimas, ar pats Platonas apskritai eidus laikė bendrybėmis bei ar būtų sutikęs su Aristotelio iškeltais substancialumo kriterijais. Pasak Platono filosofijos tyrėjo Haroldo Chernisso (1946), šis klausimas iš principo leidžia abejoti Aristotelio pateikiamu liudijimu ir net parodo (turint omenyje paties Platono tylą šiuo klausimu), kad Aristotelis greičiausiai nesuprato savo mokytojo filosofijos niuansų.

15 Philolaus, Fr. 4 in Huffman 1993: 172; komentuodamas šį Filolajo fragmentą, Carlas Huffmanas pabrėžia, jog Filolajo vartojami veiksmažodžiai skirti atkreipti dėmesį į tai, kad čia kalbama ne šiaip apie „atpažinimą“ ar „suvokimą“, bet apie žinojimą (noēsis).

16 Pvz., įrašą ant portalo, vedančio į Akademiją, arba liudijimus apie Platono garsiąją paskaitą apie Gėrį.

17 Nors Aristotelis savo interpretacijoje labiau koncentruojasi į ryšį tarp žinojimo problemos ir ypatingo bendrybių ontologinio statuso atskirybių atžvilgiu, kurį joms (esą) priskyrė Platonas.

18 Platono pastebėjimas, kad „skaičiavimo menas (logistikē) ir aritmetika turi reikalą tik su skaičiais <...> [todėl] jie mus veda link tiesos (agōga pros alētheian)“ (Rep. 525a–b), tematiškai primena anksčiau minėtą Filolajo fragmentą apie ryšį tarp žinojimo ir skaičių.

19 Šią Platono poziciją galima palyginti su pitagorininko Archito Tarentiečio požiūriu į matematikos naudą valstybės gyvenimui (cf. Archytas, Fr. 3 in Huffman 2005: 182). Architas skaičiavimo meną išaukštino pabrėždamas, kad dėl jo polyje atsiras daugiau teisingumo (dikē) ir santarvės (homonoia), o Platonas matematikos mokslus išaukštino kaip tik todėl, kad šie esą padeda sielai nusisukti nuo nereikšmingų kasdienių rūpesčių ir reikalų. Šia prasme Aristotelis tikrai nesuklydo teigdamas, jog būtent Platonas, o ne pitagorininkai teigė skaičius ir matematikos objektus egzistuojant atskirai nuo jusliškai suvokiamų daiktų.

20 Pasak Platono, tie, kurie užsiima matematika, tik „sapnuoja tai, kas iš tiesų yra (oneirōttousi men peri to on)“ (Rep. 533b–c); ypač daug ką pasako faktas, kad padalintos linijos analogijoje (ibid.: 511d–e) matematikos objektus Platonas įkurdina dianoia (tarpiško pažinimo) srityje, kuri šios analogijos kontekste yra proporcinga eikasia (šešėlių ir vaizdinių) sričiai.

21 Dėl šios priežasties senovės graikai „vieneto“ nelaikė skaičiumi – koks nors vienas daiktas pats nėra skaičius, o veikiau elementas, iš kurio galima sudaryti skaičių.

22 Pavyzdžiui, trys obuoliai ir trys kriaušės – abiem atvejais tris daiktus jungia tas pats skaičius „trys“, nepaisant to, kad vieno rinkinio elementai savo rūšimi skiriasi nuo kitą rinkinį sudarančių elementų.

23 Pavyzdžiui, skaičiuojant obuolius, svarbiausia yra tai, kad skaičuojami tos pačios rūšies objektai – obuoliai (nepriklausomai nuo šių obuolių tarpusavio skirtumų). Šis reikalavimas galioja skaičiuojant ir nevienarūšius daiktus – pvz., trys žirafos + du pianinai = penki daiktai / objektai.

24 Platono dialoge Parmenidas minima dalių ir visumos dilema (131a–132b) numato arithmos būdingą vienį kaip galimą šios problemos sprendimą (cf. Greater Hippias, 301d–302a).

25 Ph., 224a2–15: „Taigi, šių dviejų grupių [šunų ir žirgų] skaičius yra tas pats, kadangi skaičiaus atžvilgiu abi grupės niekuo nesiskiria, tačiau tai nėra ta pati dekada <...> kadangi grupėse esantys daiktai skiriasi; vienoje grupėje yra šunys, o kitoje – žirgai.“